Задача 111680

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть O_a, O_b и O_c – центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB.
Докажите, что если точки O_a и O_b лежат на прямых PA и PB, то точка O_c лежит на прямой PC.

Решение

Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, поэтому  AP ⊥ O_bO_c,  BP ⊥ O_aO_c  и  CP ⊥ O_aO_b.  При этом точка A лежит на прямой O_aP, а точка B – на прямой O_bP, значит, высоты треугольника O_aO_bO_c, проведённые из вершин O_a и O_b, лежат на прямых O_aA и O_bB. Эти прямые пересекаются в точке P, поэтому прямая, содержащая высоту треугольника O_aO_bO_c, проведённую из третьей вершины O_c, также проходит через точку P, а так как CP ⊥ O_aO_b, то точки O_c, P и C лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4198