Задача 111706

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?

Решение

Диагональ параллельна стороне, если между концами стороны и концами диагонали находится по равному числу сторон. Значит, диагональ параллельна какой-то стороне, если один из отсекаемых ею многоугольников имеет чётное число сторон. Поэтому если число сторон правильного многоугольника нечётно, то каждая его диагональ параллельна какой-то стороне. Если же число сторон чётно (равно 2k), то из каждой вершины выходит  2k – 3  диагонали, из которых только каждая чётная по порядку, считая от стороны, параллельна какой-то стороне, то есть диагоналей, параллельных сторонам, меньше половины.

Ответ

Не существует.

Замечания

Ср. с зад. 116573.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	1