Условие
Для данной пары окружностей постройте две концентрические
окружности, каждая из которых касается двух данных. Сколько
решений имеет задача, в зависимости от расположения окружностей?
Решение
Пусть радиусы двух окружностей с центром
O равны
R и
r (
R > r ).
Тогда есть два семейства касающихся их окружностей: с радиусами, равными
,
и центрами, удаленными от
O на
,и с радиусами, равными
,
и центрами, удаленными от
O на
. При этом любые две окружности из одного семейства
симметричны относительно некоторой прямой, проходящей через
O4 , а любые две
окружности из разных семейств пересекаются или касаются. Отсюда вытекает
следующее построение.
Если радиусы данных окружностей равны, то центр искомых концентрических
окружностей лежит на прямой, относительно которой данные окружности симметричны.
При этом любая точка O этой прямой, кроме точек пересечения данных
окружностей, может быть таким центром. Действительно, проведем через O и центр одной
из данных окружностей прямую и найдем точки A, B ее пересечения с этой
окружностью. Окружности с радиусами
OA, OB — искомые.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2008 |
|
тур |
|
задача |
|
Номер |
2 |
