Условие
Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один из его углов равен 60°.
Решение
Треугольник можно разрезать на три треугольника либо соединив
внутреннюю точку с вершинами, либо сначала разрезав его на два прямой,
проходящей через вершину, а затем так же разрезав один из полученных
треугольников. В первом случае треугольники могут оказаться равными, только
если исходный треугольник правильный. Во втором один из треугольников,
полученных при первом разрезании должен быть равнобедренным, а второй –
прямоугольным, равным "половине" первого. Отрезать же от исходного треугольника прямоугольный можно только одним из следующих трёх способов.
1) Проведём в исходном треугольнике высоту. Но тогда второй треугольник тоже будет прямоугольным и первый не может быть равен его половине.
2) Проведём в тупоугольном треугольнике ABC через вершину тупого угла C прямую CD, перпендикулярную BC. Тогда, так как площадь треугольника BCD равна половине площади треугольника ACD, должны выполняться равенства AD = CD = 2BD, что невозможно, поскольку BD – гипотенуза треугольника BCD.
3) Проведём в треугольнике с прямым углом C прямую BD. Тогда аналогично предыдущему случаю получаем, что AD = BD = 2CD, и, значит,
∠B = 60°.
