Задача 111711

Темы:    [ Концентрические окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке A . Пусть B  — произвольная точка одной из этих окружностей, C  — другой. Для каждого треугольника ABC рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке K , причем одна окружность касается прямой AB в точке B , а другая — прямой AC в точке C . Найдите ГМТ K .

Решение

Пусть M, N  — центры касающихся окружностей. Тогда K  — середина отрезка MN , ABM = ACN = 90^o , и BM = MK = KN = NC . Так как AK  — медиана треугольника AMN , AK² = = (AB²+AC²)/2  — не зависит от выбора точек B, C . Следовательно, K лежит на окружности с центром A . Вращая треугольник ABC вокруг A , можно получить любую точку этой окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	6