Задача 111723

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Формула Герона ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Условие

Докажите, что для треугольника со сторонами a , b , c и площадью S выполнено неравенство

a²+b²+c²- (|a-b|+|b-c|+|c-a|)² 4 S.

Решение

Первое решение. Пусть C  — средний угол треугольника. Тогда |b-c|+|c-a|=|a-b| и левая часть неравенства равна

a²+b²+c²-2(a-b)²=4ab-(a²+b²-c²)=2ab(2- cos C).
Поскольку правая часть равна 2 sin C , данное неравенство равносильно следующему
2- cos C sin C.
Но cos C+ sin C=2 cos(C-) , следовательно, данное неравенство всегда справедливо и обращается в равенство только при C=60^o . Второе решение. Вновь полагая, что c  — средняя сторона треугольника, обозначим x=p-a , y=p-b , z=p-c , где p  — полупериметр, и запишем левую часть в виде
a²+b²-(a-b)²+c²-(a-b)²=2ab+4xy=2(x+z)(y+z)+4xy=2pz+6xy.
И поскольку правая часть равна 4 , неравенство принимает вид
pz+3xy-2=(-)² 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	18