|
|
 |
Условие
а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен?б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?
Решение
а) Пусть X, Y – две точки, делящие периметр многоугольника пополам и не являющиеся его вершинами, X', Y' – точки на тех же сторонах, удовлетворяющие условию XX' = YY', P – точка пересечения прямых XY и X'Y'. Так как каждая из этих прямых делит многоугольник на два равновеликих, площади треугольников PXX' и PYY' равны. А так как XX' = YY', равны и высоты треугольников, опущенные на эти стороны. Кроме того, ∠XPX' = ∠YPY' как вертикальные. Следовательно, эти треугольники равны. Если прямые XX' и YY' не параллельны, то отсюда следует равенство углов PX'X и PYY'. Но при фиксированной паре X, Y это равенство не может выполняться для произвольных X', Y'. Таким образом, когда одна из двух противоположных точек движется по стороне многоугольника, другая движется по параллельной стороне, причём длины этих сторон равны. Значит многоугольник имеет центр симметрии.
б) Пусть, например, ABC – правильный треугольник, A', B', C' – середины его сторон. Проведем шесть дуг окружностей по 60° с центрами A', B', C' с концами в точках A, B, C, A', B', C'. Пусть X, Y – пара точек, делящих периметр фигуры ограниченной этими дугами, пополам и точка X лежит, например, на дуге AB'. Тогда Y лежит на дуге A'B и дуги AX и A'Y равны. Так как дуги AB' и A'B являются частями одной окружности с центром C', это означает, что ∠AC'X = ∠A'CY. Следовательно, площадь фигуры AXYB равна сумме площадей секторов C'AX и C'BY, не зависящей от положения точек X, Y, площади треугольника C'XY , также не зависящей от положения этих точек, и площади двух неизменных сегментов. Таким образом, эта площадь постоянна и, как нетрудно видеть, равна половине площади всей фигуры.
Ответ
а) Верно; б) неверно.
