Задача 111729

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Неравенства с площадями ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]

Сложность: 6- Классы: 10,11

Условие

Пусть h  — наименьшая высота тетраэдра, d  — наименьшее расстояние между его противоположными ребрами. При каких t возможно неравенство d>th ?

Решение

При t<3/2 . Пусть ABC  — грань наибольшей площади тетраэдра ABCD . Тогда его объем равен V=S_ABCh/3 . С другой стороны он равен половине произведения длин противоположных ребер на расстояние и синус угла между ними. Пусть A'B'C'  — треугольник, средними линиями которого являются стороны ABC . Тогда, например, S_A'B'D=AB· CD sinϕ , где ϕ  — угол между AB и CD . Поскольку сумма площадей боковых граней тетраэдра больше площади его основания, площадь треугольника A'B'C' не превосходит утроенной максимальной площади треугольников A'B'D , B'C'D , C'A'D , т.е. d<3h/2 . Усилить это неравенство нельзя, так как если взять правильную пирамиду и устремить ее высоту к нулю, отношение d/h будет стремиться к 3/2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	24