Задача 115275

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высота BH и медиана AM. Известно, что угол MCA в два раза больше угла MAC,  BC = 10.
Найдите AH.

Решение

Медиана HM прямоугольного треугольника BHC вдвое меньше гипотенузы BC, то есть  HM = 5.  Пусть  ∠MAC = α.  Тогда
∠MHC = ∠MCH = ∠MCA = 2α.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠AMH = ∠MHC – ∠MAC = 2α – α = α,  значит, треугольник AMH – также равнобедренный. Следовательно,  AH = HM = 5.

Ответ

5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2951