Задача 115278

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Площадь трапеции ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Ромб и равнобокая трапеция описаны около одной и той же окружности и имеют одинаковые площади. Найдите их острые углы.

Решение

Пусть радиус окружности равен r , сторона ромба равна a , его острый угол равен a , боковая сторона трапеции равна b , её острый угол равен b . Тогда

S_ромба = a· 2r = · 2r = ,
а т.к. полусумма оснований описанной около окружности равнобедренной трапеции равна боковой стороне, то
S_{трапеции} = b· 2r = · 2r = .
Из равенства площадей ромба и трапеции следует равенство синусов углов a и b , а т.к. эти углы острые, то a=b .

Ответ

Острые углы ромба и трапеции равны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2954