Задача 115282

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a , b , c , d — их радиусы, a = , b = , g = , d = . Докажите, что

2(a2+b2+g2+d2)= (a+b+g+d)2.

Решение

Пусть A , B , C , D — центры данных окружностей радиусов a , b , c , d соответственно. Тогда

AB=a+b, BC=b+c, AC=a+c, BD=b+d, CD=c+d.
Обозначим BDC= j , ADB = , ADC = m . По теореме косинусов
cos j = = =

=.
Тогда
cos2 = = = ,

sin2 = = .
Аналогично,
sin2 ADB = sin2 =,

sin2 ADC = sin2 =.
Так как j++m = 360^o , то ++ = 180^o . Рассмотрим треугольник с углами j , , m . Пусть R — радиус описанной окружности этого треугольника. Тогда стороны треугольника равны 2R sin , 2R sin , 2R sin . По теореме косинусов
4R2 sin2 = 4R2 sin2 + 4R2 sin2 - 8R2 sin sin cos ,

sin2 - sin2 - sin2 + 2 sin sin cos =0,

- -+

+2· · =0,

-- + 2=0,

1+-1--1- + 2=0,

-1+-- + 2=0,
Разделив обе части этого равенства на d , получим, что
-+--+ 2=0,

a-b-g-d+2=0, b+g+d - a = 2,

(b+g+d - a)2 = 4(g d+ b d +b g),

(b+g+d)2 - 2a(b+g+d)+a2 =4(g d+b d +b g),

b2+g2+d2 + 2b g +2b d+ 2g d - 2a b - 2a g - 2a d + a2 =4g d+4b d +4b g,

a2+ b2+g2+d2 = 2b g +2b d+ 2g d + 2a b + 2a g + 2a d,

2a2+ 2b2+2g2+2d2 = a2+ b2+g2+d2 + 2b g +2b d+ 2g d + 2a b + 2a g + 2a d,
откуда
2(a2+b2+g2+d2)= (a+b+g+d)2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2958