Задача 115290

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2 в точке C и пересекает S1 в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.

Решение

Радиусы O2B и O2C окружности S2 перпендикулярны параллельным прямым — касательным к окружности S2 , значит, BC — диаметр окружности S2 . Поэтому BFC = 90^o . Пусть общая касательная к окружностям S1 и S2 , проходящая через точку F , пересекает прямую l в точке M . Тогда MB=MF=MA , т.е. медиана FM треугольника AFB равна половине стороны AB . Следовательно, треугольник AFB — прямоугольный, AFB = 90^o . Таким образом,

AFC = AFB+ BFC = 90^o+ 90^o = 180^o,
т.е. точки A , F и C лежат на одной прямой.

Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом, равным - , где r1 и r2 — радиусы окружностей S1 и S2 соответственно. При этой гомотетии окружность S1 переходит в окружность S2 , а касательная l к окружности S1 — в параллельную l касательную к окружности S2 . Следовательно, точка A переходит в точку C , поэтому точка F лежит на отрезке AC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2966