Задача 115291

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Их общая касательная l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB , касается окружности S2 в точке C и пересекает S1 в точках D и E . Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE , проходит через точку F .

Решение

Пусть O1 и O2 — центры окружностей O1 и O2 соответственно. Радиусы O2B и O2C окружности S2 перпендикулярны параллельным прямым — касательным к окружности S2 , значит, BC — диаметр окружности S2 . Поэтому BFC = 90^o . Пусть общая касательная к окружностям S1 и S2 пересекает прямую AB в точке M . Тогда MB=MF=MA , т.е. медиана FM треугольника AFB равна половине стороны AB . Следовательно, треугольник AFB — прямоугольный, AFB = 90^o . Таким образом,

AFC = AFB+ BFC = 90^o+ 90^o = 180^o,
т.е. точки A , F и C лежат на одной прямой. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, центр O его описанной окружности — середина гипотенузы AC . Докажем, что точка A — центр описанной окружности треугольника BDE . Касательная AB параллельна хорде DE окружности S1 , поэтому A — середина дуги DE этой окружности. Значит, AD = AE . Пусть R и r — радиусы окружностей S1 и S2 соответственно, T — проекция точки O2 на AO1 . Тогда
AB=O2T = = = 2.
Пусть P — середина хорды DE . Из прямоугольных треугольников O1PE и APE находим, что
PE2=O1E2-O1P2 = O1E2-(AP-O1A)2 =O1E2-(BC-O1A)2= R2-(2r-R)2,

AE= = = 2=AB.
Следовательно, AB=AE=AD , т.е. A — центр описанной окружности треугольника ADE . Центры O и A описанных окружностей треугольников ABC и BDE лежат на прямой AC , B — одна из точек пересечения этих окружностей, при этом BF AC . Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, следовательно, общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE проходит через точку F .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2967