Задача 115296

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Геометрические неравенства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, при этом AB=BD и AC=BC . Докажите, что ABC <60^o .

Решение

Обозначим ABD = a , CAD= CBD= b . Тогда

ABC = BAC=a+b, BDA = BAD = BAC+ DAC= (a+b)+b = a+2b.
Сумма углов равнобедренного треугольника ABD равна 180^o , т.е.
a+2(a+2b) = 3a+4b = 180^o,
поэтому
3a+3b = 180^o-b<180^o.
Следовательно,
ABC = a+b <60^o.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3402