Задача 115298

Тема:    [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки X и Y так, что  AX = BY  и при этом  ∠XYB = ∠BAC.  Точка B₁ – основание биссектрисы угла B. Докажите, что прямые XB₁ и YC параллельны.

Решение

Через точку X проведём прямую, параллельную стороне BC, до пересечения со стороной AC в точке B₀. Тогда  ∠AXB₀ = ∠XBY,  поэтому треугольники AXB₀ и XBY равны по стороне и двум углам. Значит,  BX = XB₀, треугольник BXB₀ – равнобедренный. Поэтому  ∠B₀BC = ∠XB₀B = ∠XBB₀,  то есть BB₀ – биссектриса угла B. Следовательно, точка B₀ совпадает с B₁. Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3404