|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC на сторонах AB и BC выбраны точки E и F так, что AE = EF и ∠CEF = ∠B. Точка K на отрезке EC такова, что EK = FC.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков AF и EC, в два раза короче KF.
Также доступны документы в формате TeX
Решение
Пусть X, Y и Z – середины отрезков AF, CE и AC соответственно.
Первый способ. XZ – средняя линия треугольника ACF, поэтому XZ = ½ FC = ½ EK и XZ || FC. Аналогично YZ = ½ AE = ½ EF и YZ || AE. Кроме того, ∠XZY = ∠B = ∠FEK. Значит, треугольник XZY подобен треугольнику EKF по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом подобия ½. Следовательно, XY = ½ KF.
Второй способ. Достроим треугольник AEF до ромба AEFL. Тогда треугольники LFC и FEK равны по двум сторонам и углу между ними, а так как XY – средняя линия треугольника LEC (X – точка пересечения диагоналей ромба AEFL), то XY = ½ CL = ½ KF.
Также доступны документы в формате TeX
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3409 |
