|
|
 |
Условие
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD параллельно основаниям BC и AD, пересекает сторону CD в точке K. Окружность проходит через вершины A и B трапеции, пересекает её основания BC и AD в точках X и Y соответственно и касается её стороны CD в точке K. Докажите, что прямая XY проходит через точку пересечения прямых AB и CD.
Также доступны документы в формате TeX
Решение
Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции. По теореме о касательной и секущей CK² = CX·CB и
DK² = DY·DA, поэтому
CK²/DK² = CX/DY·CB/DA. С другой стороны, CK : DK = CO : OA = CB : DA. Значит, CB²/DA² = CB/DA·CX/DY, откуда CK : DY = CB : DA. Поэтому при гомотетии с центром в точке Q пересечения прямых AB и CD, переводящей точку C в точку D, точка X переходит в точку Y. Следовательно, точки Q, X и Y лежат на одной прямой.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3410 |
