Задача 115315

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Геометрические неравенства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, AC и BC треугольника ABC взяли точки K, L и M соответственно так, что  ∠A = ∠KLM = ∠C.
Докажите, что если  AL + LM + MB > CL + LK + KB,  то  LM < LK.

Решение

  ∠MLC = 180° – ∠KLM – ∠ALK = 180° – ∠A – ∠ALK = ∠AKL.
  Значит, треугольники CLM и AKL подобны по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен k.
  По условию  AL + LM + BC – CM > CL + LK + AB – AK  ⇒  AL + AK – LK > CL + CM – LM = k(AK + AL – KL).

  Значит,  k < 1.  Следовательно,  LM = kKL < KL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3421