Задача 115320

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки X, Y и Z соответственно так, что  BZ = 2AY  и  ∠XYZ = 90°.
Докажите, что  AX + CZ = XZ.

Решение

Через точку Z параллельно стороне AB проведём прямую до пересечения со стороной AC в точке P. Тогда треугольник CPZ – также равносторонний, поэтому  ZP = CZ = CP  и  AP = BZ = 2AY,  то есть Y – середина отрезка AP. Продолжим катет ZY до пересечения с прямой AB в точке K. Тогда треугольники AKY и PZY равны по стороне и двум углам  (∠KAY = ∠ZPY = 120°),  поэтому  AK = ZP = CZ,  а Y – середина отрезка KZ. Треугольник KXZ – равнобедренный, так как его высота XY является медианой. Следовательно,  XZ = KX = AX + AK = AX + ZP = AX + CZ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6324