Задача 115324

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность, проходящая через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC , пересекает гипотенузу AC в точке X . Касательные к этой окружности, проведённые в точках X и B , пересекаются в точке Y . Докажите, что точка Y лежит на средней линии треугольника ABC , параллельной стороне BC , или на её продолжении.

Решение

Пусть M — середина гипотенузы AC . Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка X между M и C ). Нам достаточно доказать, что MY || BC . Обозначим ACB = g . Треугольник BMC — равнобедренный, поэтому MBC = MCB = g , а по теореме о внешнем угле треугольника AMB = 2g . Треугольник BXY — также равнобедренный, т.к. YB=YX как касательные, проведённые к окружности из одной точки. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что BXY = XBY = BCX = g , поэтому BYX = 180^o-2g = XMB , значит, точки B , Y , X и M лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы BMY и BXY опираются на одну и ту же дугу, поэтому

BMY = BXY = g = MBC.
Следовательно, MY || BC . Что и требовалось доказать. Аналогично для случая, когда точка M расположена между X и C .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6328