Условие
AE и CD – высоты остроугольного треугольника ABC. Биссектриса угла B пересекает отрезок DE в точке F. На отрезках AE и CD взяли такие точки P и Q соответственно, что четырёхугольники ADFQ и CEPF – вписанные. Докажите, что AP = CQ.
Решение
Точки D и E сторона AC видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC. Поэтому ∠AED = ∠ACD,
∠CDE = ∠CAE. Кроме того, ∠CFE = ∠CPE. Значит, ∠CFD = 180° – ∠CFE = 180° – CPE = ∠ CPA.
Треугольник CFD подобен треугольнику CPA по двум углам,
поэтому AP : DF = AC : DC, откуда AP = AC·DF/DC. Аналогично CQ = AC·EF/AE. Следовательно, AP/CQ = DF/FE·AE/DC = BD/BE·BE/BD = 1 (DF : FE = BD : BE по свойству биссектрисы треугольника, а AE : DC = BE : BD из подобия прямоугольных треугольников ABE и CBD ).
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6329 |
