Задача 115327

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность, проходящая через вершины A и B треугольника ABC , пересекает стороны AC и BC в точках X и Y соответственно. При этом центр вневписанной окружности треугольника XYC , касающейся стороны XY , лежит на описанной окружности треугольника ABC . Докажите, что отрезок XY проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC .

Решение

Пусть S — описанная окружность треугольника ABC , S1 — окружность, проходящая через точки A , B , X и Y , P — центр вневписанной окружности треугольника XYC , касающейся стороны XY . Из условия задачи следует, что CP — биссектриса угла ACB . Центр I вписанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе каждого угла этого треугольника. Обозначим углы треугольника ABC через a , b и g соответственно. По теореме о внешнем угле треугольника

AIP = ACP+ CAI = + .
В то же время, вписанные в окружность S углы APC и ABC опираются на одну и ту же дугу, поэтому
API = APC= ABC = b.
Поскольку XP — биссектриса угла AXY , а четырёхугольник AXYB вписан в окружность S1 ,
AXP = AXY = (180^o- ABC) = (180^o-b)= (g+a) = AIP
Таким образом, из точек X и I отрезок AP виден под одним и тем же углом b , значит, точки X , I , A и P лежат на одной окружности. По свойству вписанного четырёхугольника
AXI = 180^o- API = 180^o-b= AXY
(четырёхугольник AXYB вписан в окружность S1 ). Следовательно, точка I лежит на XY .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6331