Задача 115450

Темы:    [ Арифметика. Устный счет и т.п. ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Условие

Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел.
Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?

Решение

Рассмотрим первую сотню натуральных чисел. Среди этих чисел десять квадратов (от 1 до  10² = 100)  и четыре куба (от 1 до  4³ = 64).  Учтем, что два из этих чисел, а именно, 1 и 64 являются одновременно квадратами и кубами. Таким образом, из первой сотни вычеркнули 12 чисел. Среди следующих двенадцати чисел нет ни квадратов, ни кубов  (11² = 121,  5³ = 125),  следовательно, среди оставшихся чисел на сотом месте стоит число 112.

Ответ

112.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.1