Условие
Диагонали трапеции
ABCD пересекаются в точке
O . Описанные
окружности треугольников
AOB и
COD пересекаются в точке
М на
основании
AD . Докажите, что треугольник
BMC равнобедренный.
Решение
Первый способ. По теореме об углах, вписанных в окружность,
OBM= OAM (см.
рис.). По определению трапеции
OAM= OCB . Таким образом,
OBM=
OCB . Аналогично доказывается, что
OСM= OBC . Складывая полученные равенства, найдём,
что
MBC= MCB , то есть,
BM=CM .
Второй способ. Рассмотрим цепочку равенств:
CBM= BMA= BOA=
COD= CMD= BCM (см. рис.). Первое и пятое равенства вытекают из параллельности
оснований трапеции, второе и четвёртое
— из свойства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, третье
— равенство вертикальных углов. Из доказанного вытекает, что
CBM= BCM , то есть,
BM=CM .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Окружная олимпиада (Москва) |
|
год |
|
Год |
2009 |
|
Класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
06.4.9.3 |
