Задача 115504

Тема:    [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов  x² + ax + b,  x² + cx + d,  x² + ex + f  не имеет корней.
Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?

Решение

  Обозначим эти трёхчлены через  f₁(x),  f₂(x) и  f₃(x). По условию все их попарные суммы не имеют корней, значит, каждая из функций
f₁(x) + f₂(x),  f₂(x) + f₃(x)  и  f₃(x) + f₁(x)  принимает только положительные значения.
  Следовательно,  2(f₁(x) + f₂(x) + f₃(x)) = (f₁(x) + f₂(x)) + (f₂(x) + f₃(x)) + (f₃(x) + f₁(x)) > 0 для всех x.

Ответ

Не может.

Замечания

Может случиться так, что сумма каждых двух трёхчленов имеет корень, а сумма всех трёх – нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	73
Год	2010
класс
Класс	10
задача
Номер	2010.10.1