Задача 115505

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки подобия ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Дана трапеция ABCD с основаниями  AD = a  и  BC = b.  Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.

Решение

  Добавив к равновеликим треугольникам MOA и CON (см. рис.) треугольник AON, получим, что треугольники AMN и ACN также равновелики. Они имеют общее основание AN, а значит, точки M и C равноудалены от прямой AN. А поскольку они, очевидно, лежат по одну сторону от этой прямой, прямые MC и AN параллельны.
  Имеем две пары подобных треугольников MCN и AND (а значит,  AD : MN = AN : MC)  и MCB и ANM (откуда  AN : MC = MN : BC).  Стало быть,
AD : MN = MN : BC,  откуда  MN² = AD·BC = ab.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	73
Год	2010
класс
Класс	10
задача
Номер	2010.10.2