Задача 115558

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC AB=14 , BC=6 , CA=9 . Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=1:9 . Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если окружность, вписанная в треугольник KLM , касается его стороны MK в точке P , то MP = (MK+ML-KL) .
Доказательство.}Пусть Q и R — точки касания вписанной окружности треугольника KLM со сторонами ML и KL соответственно (рис.1). Тогда

MQ=MP, KP= KR, LQ=LR,

KL=KR+LR=KP+LQ=(MK-MP)+(ML-MQ)=

=MK+ML-(MP+MQ)=MK+ML-2MP.
Следовательно, MP = (MK+ML-KL) , что и требовалось доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть вписанные окружности треугольников ADC и ABD касаются отрезка AD в точках E и F соответственно, причём точка D лежит на отрезке BC (рис.2). Тогда по доказанному
AE=(AD+AC-CD), AF=(AD+AB-BD),
значит,
EF=|AF-AE|=|(AD+AB-BD)-(AD+AC-CD)|=

=|AD+AB-BD-AD-AC+CD|= |AB-AC-BD+CD|=

=|AB-AC-BC+BC|= |AB-AC+BC|= |14-9+· 6|= .

Пусть теперь точка D лежит вне отрезка BC (рис.3). Тогда она лежит на продолжении отрезка BC за точку B . Аналогично предыдущему случаю
EF=|AF-AE|= |AB-AC-BD+CD|=

=|AB-AC-BC+BC|= |AB-AC+BC|= |14-9+ 6|=.

Ответ

4,9 или 5,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3332