Задача 115562

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром O , вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB и AC в точках M и N . Окружность с центром Q вписана в треугольник AMN . Найдите OQ , если AB=13 , BC=15 и AC=14 .

Решение

Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , p — полупериметр треугольника ABC . Тогда

p===21.
По формуле Герона
S_{Δ ABC}== = 84,
значит,
r===4.

Докажем что центр Q окружности, вписанной в треугольник AMN , лежит на вписанной окружности треугольника ABC . Действительно, пусть Q' — середина меньшей дуги MN вписанной окружности треугольника ABC . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
AMQ'= MNQ'= NMQ',
поэтому MQ' — биссектриса угла AMN . Аналогично, NQ' — биссектриса угла ANM , значит, Q' — точка пересечения биссектрис треугольника AMN , т.е. центр вписанной окружности этого треугольника. Таким образом, точка Q' совпадает с точкой Q .
Следовательно, OQ=r=4 .

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3336