Задача 115573

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке C . Прямая касается этих окружностей в различных точках A и B соответственно. Найдите угол AO2B , если известно, что tg ABC = .

Решение

Пусть M — точка пересечения отрезка AB с общей касательной к данным окружностям, проведённой через их точку касания C . Тогда MA=MC=MB , значит, ACB = 90^o .
Опустим перпендикуляр O2H из центра O2 второй окружности на её хорду BC . Тогда H — середина BC . Из условия задачи следует, что AC = BC = BH , а т.к. BO2H=90^o- O2BH = ABC , то прямоугольные треугольники BO2H и ABC равны по катету и противолежащему острому углу. Значит, O2B= AB . Следовательно, AO2B= BAO2=45^o .

Ответ

45^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3304