Задача 115579

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка M делит среднюю линию треугольника ABC, параллельную стороне BC, на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. Точка N делит сторону BC на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. В каком отношении прямая MN делит площадь треугольника ABC?

Решение

  Пусть P и Q — середины сторон AB и AC соответственно, точка M лежит на средней линии PQ, причём PM : MQ = 1 : 3,  а прямая AM пересекает сторону BC в точке N' (см. рис.).
  В силу подобия  BN' : N'C = PM : MQ = 1 : 3.  Если  BN : NB = 1 : 3,  то точка N' совпадает с точкой N. Тогда  S_ABN : S_ACN = BN : NC = 1 : 3.

  Пусть теперь  CN : NB = 1 : 3.  В этом случае прямая MN пересекает сторону AB в некоторой точке K. Заметим, что  PQ = 4PM,  BC = 8PM,  BN = 6PM.  Треугольник KPM подобен треугольнику KBN с коэффициентом ⅙, значит,  AP = BP = 5KP,  AK = 4KP,  BK = 6KP.
  Следовательно,  ^S_BKN/_SABC = ^BN/_BC·^BK/_AB = ¾·⅗ = ⁹/₂₀,  ^S_BKN/_SACNK = ⁹/₁₁.

Ответ

1 : 3  или  9 : 11.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3320