Задача 115611

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Угол A треугольника ABC в два раза больше угла B. Докажите, что  BC² = (AC + AB)AC.

Решение

  Обозначим  ∠ABC = β.  Тогда  ∠A = 2β.  Пусть AK – биссектриса угла A. Тогда  ∠BAK = β,  поэтому  AK = BK,  а треугольник ACK подобен треугольнику BCA по двум углам. Значит,  AC : BC = AK : AB = BK : AB,  BK = ·^AB/_BC·AC.
  По свойству биссектрисы треугольника     Отсюда  BC² = (AC + AB)AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3361