Задача 115631

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Площадь четырехугольника ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали AC и BD вписанного в окружность четырёхугольника пересекаются в точке Q под прямым углом. Прямые AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что  BC = 5,  AD = 10,  BQ = 3.  Найдите AP.

Решение

  Из прямоугольного треугольника BQC находим, что  CQ = 4.
  Прямоугольные треугольники AQD и BQC подобны с коэффициентом  ^AD/_BC = 2,  поэтому  AQ = 6,  DQ = 8.  По теореме Пифагора
AB² = BQ² + AQ² = 45.
  S_ABCD = ½ AC·BD = 55,  S_ABC = ½ AC·BQ = 15.
  Треугольник BPC подобен треугольнику DPA по двум углам с коэффициентом подобия  ^BC/_AD = ½,  значит,  S_ABCD = ¾ S_APD = 3 S_BPC,  откуда
AР : AB = (S_ABC + S_APD) : S_ABC = (45 + 55) : 45 = 20 : 9,  то есть  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3381