Задача 115635

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Решение

Пусть окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC касается катетов AC=4 и BC=3 в точках K и L соответственно, а гипотенузы AB — в точке M . Тогда

5=AB = AM+BM= AK+BL = (AC-CK)+(BC-CL)= 4-CK+3-CK=7-2CK,
откуда находим, что CK=1 и CL=CK=1 . Аналогично находим, что AK=AM= 3 и BL=BM=2 , поэтому
S_{Δ KCL}=· · S_{Δ ABC}= · · · 3· 4=,

S_{Δ MBL}=· · S_{Δ ABC}= · · · 3· 4=,

S_{Δ AMK}=· · S_{Δ ABC}= · · · 3· 4=.
Следовательно,
S_{Δ KLM}= S_{Δ ABC}-S_{Δ KCL}-S_{Δ MBL}- S_{Δ AMK}= 6---=.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3385