Задача 115638

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольник ABC со сторонами  AB = 18  и  BC = 12  вписан параллелограмм BKLM, причём точки K, L и M лежат на сторонах AB, AC и BC соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет ⁴/₉ площади треугольника ABC. Найдите стороны параллелограмма.

Решение

Обозначим  BM = KL = x,  BK = LM = y,  S_ABC = S.  Тогда  S_BKLM = ^4S/₉,  ^2S/₉ = ½ S_BKLM = S_BKM = ^x/₁₂·^y/₁₈ S,  то есть  xy = 48.  Треугольник AKL подобен треугольнику ABC, поэтому  KL : BC = AK : AB,  или  ^x/₁₂ = ^18–y/₁₈,  откуда  3x + 2y = 36.  Из системы  xy = 48,  3x + 2y = 36  находим, что  x = 8,  y = 6  или  x = 4,  y = 12.

Ответ

8, 6 или 4, 12.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3388