|
|
 |
Условие
В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.
Решение
Пусть AA', BB' и CC'– медианы неравнобедренного треугольника ABC, а AA", BB" и CC" – его высоты, причём BB" = AA' и CC" = BB'. Предположим, что AB < AC < BC.
Если P – проекция точки A' на прямую AC, то A'P – средняя линия прямоугольного треугольника CBB", поэтому A'P = ½ BB" = AA', значит,
∠B'AA' = 30°. Аналогично ∠ABB' = 30°.
Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим MA' = x. Тогда AA' = 3x. Треугольники A'MB' и A'B'A подобны по двум углам, так как ∠A'B'M = ∠ABB' = 30° = ∠A'AB', а угол при вершине A' – общий, значит, A'B' : AA' = A'M : A'B', то есть A'B'² = A'M·AA' = 3x².
Обозначим MB' = y. По теореме косинусов
MA'² = MB'² + A'B'² – 2MB'·A'B' cos 30°, x² = y² + 3x² – 3xy, (y – x)(y – 2x) = 0.
Если y = x, то треугольник A'MB' – равнобедренный, поэтому треугольник ABC – также равнобедренный, что противоречит условию.
При y = 2x получим, что треугольник A'MB' – прямоугольный, ∠MA'B' = 90°, значит, подобный ему с коэффициентом 2 треугольник AMB – также прямоугольный, MC' = ⅓ CC' – его медиана. По теореме Пифагора MC'² = AM² + AC² = 4x² + 3x² = 7x², A'B² = AB² + AA'² = 12x² + 9x² = 21x², а так как
AB·AA' = A'B·AA", то AA''² = (AB·AA'/A'B)² = 36x²/7.
Следовательно, СС' : AA" = 3MС' : AA" = 7 : 2.
Ответ
3,5.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6625 |
