Задача 115668

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O, равны между собой углы BAC и CBD, а также углы BCA и CDB. Докажите, что касательные, проведённые из точек B и C к описанной окружности треугольника AOD, равны.

Решение

  Треугольник ABC подобен треугольнику BOC по двум углам, поэтому  CA : BC = BC : CO,  откуда  CA·CO = BC².  Аналогично  BO·BD = BC²,  значит,  CA·CO = BO·BD.
  Пусть прямая, проведённая через точку B, касается описанной окружности в точке K, а прямая, проведённая через точку C, касается этой окружности в точке L. По теореме о касательной и секущей  BK² = BO·BD = CA·CO = CL².  Следовательно,  BK = CL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2559