Задача 115671

Темы:    [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Трапеция с основаниями a и b описана около окружности радиуса R . Докажите, что ab 4R2 .

Решение

Пусть окружность с центром O касается оснований AB и CD трапеции ABCD в точках P и Q соответственно, а боковой стороны AD — в точке K . Обозначим AP=x , BP = y . Тогда x+y=a .
Лучи AO и DO — биссектрисы внутренних односторонних углов BAD и ADC при параллельных прямых AB и CD и секущей AD , поэтому AOD=90^o . Радиус OK — высота прямоугольного треугольника AOD , проведённая из вершины прямого угла, поэтому OK2=DK· AK , значит,

DQ=DK = ==.
Аналогично, CQ= , поэтому
b=CD=DQ+CQ=+= R2(+).
Следовательно,
ab = (x+y)· R2(+)= R2(++2) R2(2+2)=4R2.
Что и требовалось доказать (здесь мы воспользовались известным неравенством + 2 ).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2562