Задача 115672

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки K и H соответственно, причём KC=2KB и HC=HD . Докажите равенство углов AKB и AKH .

Решение

Пусть сторона квадрата равна 6a . Тогда KB=2a , KC=4a , HC=HD=3a .
Из прямоугольного треугольника KCH по теореме Пифагора находим, что

KH===5a.

Продолжим отрезки KH и AD до пересечения в точке M . Прямоугольные треугольники KCH и MDH равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому MH=KH=5a и DM=KC=4a , значит,
KM=KH+MH=10a, AM=AD+DM=6a+4a=10a.

Треугольник AMK — равнобедренный, следовательно,
AKH = AKM = KAM = AKB,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2563