Задача 115680

Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O . Докажите, что

++ + +++ .

Решение

Отношение высот треугольников ABD и CBD , опущенных на одщее основание BD , равно , значит, отношение площадей этих треугольников также равно .
С другой стороны,

= = = ,
значит, = . Аналогично, = , поэтому
+= += (+) 2.
Аналогично,
+ 2, + 2, + 2.

Сложив эти четыре неравенства и разделив результат на 2, получим требуемое неравенство.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2571