Задача 115688

Темы:    [ Геометрические неравенства ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Теорема синусов ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Хорды XK и XM окружности делят её диаметр AB на три равные части. Докажите, что 5KM 3AB .

Решение

Пусть O — центр окружности, а хорды XK и XM пересекают диаметр AB в точках C и D соответственно (рис.1). Обозначим, AC=CD=BD=a , CXD = KXM = α , CX=x , DX=y . Тогда радиус окружности равен .
По теореме синусов KM = AB sin KXM = 3a sin α , а т.к. угол MXK острый, то хорда KM тем больше, чем больше α .
По формуле для медианы треугольника 4OX2=2CX2+2DX2-CD2 , или 4· a2=2x2+2y2-a2 , откуда находим, что x2+y2=5a2 , поэтому

x2y2 ()2= ()2=a4,
причём равенство достигается, если x=y , т.е. когда точка X совпадает с серединой дуги AB .
По теореме косинусов
cos α = = == = ,
значит, максимальное значение α равно arccos и достигается, когда X — середина дуги AB . В этом случае,
sin α = , KM = AB sin α=3a· =a, 5KM = 9a = 3AB.
В остальных случаях 5KM < 3AB .


Пусть O — центр окружности, а хорды XK и XM пересекают диаметр AB в точках C и D соответственно (рис.2). Обозначим, AC=CD=BD=a , CXD = KXM = α . Тогда радиус окружности равен .
По теореме синусов KM = AB sin KXM = 3a sin α , а т.к. угол MXK острый, то хорда KM тем больше, чем больше α .
Опишем окружность около треугольника CDX0 . Для любой отличной от X0 точки рассматриваемой дуги AB данной окружности CXD < AX0D , т.к. точка X лежит вне описанной окружности треугольника CDX0 . Следовательно, максимальное значение α равно 2 arctg = arccos и достигается, когда X — середина дуги AB . В этом случае,
sin α = , KM = AB sin α=3a· =a, 5KM = 9a = 3AB.
В остальных случаях 5KM < 3AB .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2579