Задача 115689

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Углы между биссектрисами ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка M , для которой BMC = 90^o+ BAC , а прямая AM содержит центр окружности, описанной около треугольника BMC . Докажите, что M — центр вписанной окружности треугольника ABC .

Решение

Пусть M' — центр вписанной окружности треугольника ABC . Тогда BM' и CM' — биссектрисы углов B и C тругольника ABC , поэтому

BM'C = 180^o-( M'BC + M'CB)= 180^o-( ABC+ ACB)=

=180^o-(180^o- BAC)= 90^o+ BAC = BMC,
значит, точки M' , M , B и C лежат на одной окружности, т.е. точка M' лежит на описанной окружности треугольника BMC .
Пусть прямая AM' вторично пересекает эту окружность в точке K . Обозначим углы треугольника ABC через α , β , γ соответственно. Тогда
CKM'= CBM'=, CM'K= M'AC+ M'CA=+ ,
поэтому
KCM'=180^o- CM'K- CKM'= 180^o-(+)- =

=180^o-= 180^o-90^o=90^o,
следовательно, M'K — диаметр окружности.
Таким образом, точка M' лежит и на описанной окружности треугольника BMC , и на прямой, проходящей через точку A и центр этой окружности, значит, точки M' и M совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2580