ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115696
УсловиеЦентр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен 14, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника.РешениеПусть AC=5 — диагональ данного четырёхугольника ABCD , O — центр вписанной в четырёхугольник окружности. Центр окружности, вписанной в угол,лежит на биссектрисе этого угла, поэтому треугольники ABC и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Обозначим AB=AD=x , BC=CD=y , ABC=α . Тогда Из равенства = следует, что 1+ cos α = sin α . После возведения обеих частей этого уравнения в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение cos α(1+ cos α)=0 , а т.к. 0<α<180o , то α=90o . Таким образом Из этой системы находим, что x=3 , y=4 или x=4 , y=3 , а площадь треугольника ABC равна 6. Точки A и C равноудалены от концов отрезка BD , значит, AC — серединный перпендикуляр к отрезку BD . Из равенства AC· BD= 12 (площадь четырёхугольника ABCD ) находим, что Ответ, 3, 4, 3, 4.Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|