Задача 115705

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Стороны треугольника равны 10, 17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла.

Решение

Пусть стороны AC , AB и BC треугольника ABC равны 10, 17 и 21 соответственно, AH — высота опущенная на сторону BC .


Поскольку BC — наибольшая сторона треугольника, основание H высоты, опущенной на эту сторону, лежит на отрезке BC . Обозначим CH=x . Тогда BH=BC-CH=21-x .
Выражая по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ACH и ABH квадрат общего катета AH , получим уравнение

102-x2=172-(21-x)2,
из которого найдём, что x=6 . Следовательно,
AH====8.



Пусть p — полупериметр треугольника ABC , p==24 . По формуле Герона
S_{Δ ABC}== =

==3· 7· 4=84.
С другой стороны
S_{Δ ABC}=BC· AH= · 21· AH=AH.
Из равенства AH=84 находим, что AH=8 .


По теореме косинусов
cos ACB== =.
Тогда sin ACB = . Из прямоугольного треугольника ACH находим, что
AH=AC sin ACB = 10· =8.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3434