Задача 115724

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки P и Q лежат на сторонах соответственно BC и CD квадрата ABCD, причём треугольник APQ – равносторонний. Прямая, проходящая через точку P перпендикулярно стороне AQ, пересекает AD в точке E. Точка F расположена вне треугольника APQ, причём треугольники PQF и AQE равны.
Докажите, что  FE = 2FC.

Решение

  Прямая PE – серединный перпендикуляр к отрезку AQ, поэтому  EA = EQ,  значит, треугольники AQE и PQF – равнобедренные. Из равенства прямоугольных треугольников ADQ и ABP по катету и гипотенузе следует равенство углов DAQ и BAP, значит, каждый из этих углов равен 15°, то есть углы при основаниях равнобедренных треугольников AQE и PQF равны по 15°.

  Точки A и C равноудалены от концов отрезка PQ, значит, прямая AC – серединный перпендикуляр к отрезку PQ, а так как  FP =FQ,  то точка F лежит на AC.
  Треугольник CPQ – прямоугольный и равнобедренный, поэтому  ∠CPQ = ∠CQP = 45°,  ∠CPF = 30°,  ∠CFP = 180° – 45° – 30° = 105°,  ∠CQF = 30°,
∠DEQ = 30°,  ∠DQE = 60°,  ∠EQF = 180° – 30° – 60° = 90°,  а так как  QF = QE,  то треугольник EQF – также прямоугольный и равнобедренный.
  Опустив перпендикуляр FK на CD, получим равнобедренный прямоугольный треугольник CKF, подобный треугольнику FQE с коэффициентом
FK : FQ = 1 : 2.  Следовательно,  FE = 2FC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2555