Задача 115728

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В окружность вписан четырёхугольник ABCD . Прямые AB и CD пересекаются в точке M , а прямые BC и AD — в точке N . Известно, что BM=DN . Докажите, что CM=CN .

Решение

Обозначим BCM=α , CBM= β . Тогда

DCN = 180^o- BCM = 180^o-α,

CDN = 180^o- ADC = 180^o-(180^o- ABC)= ABC = β.
Применяя теорему синусов к треугольникам BCM и CDN получим, что
=, == ,
а т.к. BM=DN , то = . Следовательно, CM=CN .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2598