Задача 115729

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC расположена окружность, которая касается его сторон AB и BC , а также проходит через точку P — центр вписанной окружности треугольника ABC . Через точки A , P и C проведена другая окружность. Докажите, что эти окружности касаются друг друга.

Решение

Заметим, что P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC , значит, точки B , P и центр первой окружности лежат на одной прямой. Поэтому достаточно доказать, что центр окружности, проходящей через точки A , P и C , также лежит на это прямой, т.е. на биссектрисе угла ABC , т.к. тогда общая точка P двух окружностей лежит на их линии центров, а это и означает, что P — точка касания окружностей.
Обозначим углы треугольника ABC через α , β и γ соответственно. Пусть серединный перпендикуляр к отрезку AP пересекается с прямой BP в точке O . Тогда

AOP = 180^o-2 APO = 180^o-2( ABP + BAP)= 180^o-2(+)= 180^o-α-β = γ,
а т.к. ACP = , то AOP = 2 ACP . При этом OA=OP , т.к. точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AP , значит, окружность с центром O и радиусом OP проходит через точку C . Следовательно, это окружность, описанная около треугольника APC , а её центр O лежит на прямой BP . Что и требовалось доказать.


Докажем следующее утверждение. Если O — точка пересечения биссектрисы угла B треугольника ABC с описанной окружностью этого треугольника, а P — центр вписанной окружности треугольника, то OA=OP=OC .
Обозначим углы BAC=α , ABC = β . Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
APO = BAP+ ABP=+.

В то же время,
OAP = CAP + CAO= CAP + CBO = +,
значит, APO = OAP . Следовательно, OA=OP .
Аналогично докажем, что OC = OP .
Из доказанного утверждения следует, что центр O окружности, описанной около треугольника APC , лежит на биссектрисе угла ABC , а т.к. на этой же биссектрисе лежит и точка P , и центр окружности, о которой говорится в условии задачи, то P — точка касания этих окружностей. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2599