Задача 115730

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P. Перпендикуляры к AC и BD в точках C и D, соответственно пересекаются в точке Q .
Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны.

Решение

  Пусть указанные перпендикуляры пересекаются внутри окружности (случай внешней точки рассматривается аналогично). Отметим точку R – вторую точку пересечения прямой DQ с окружностью (см. рис.).

  Точки C и D лежат на окружности с диаметром PQ, поэтому  ∠CDQ = ∠CPQ.  Аналогично  ∠CDQ = ∠CAR = ∠CAR,  и, значит, прямые PQ и AR параллельны (соответственные углы равны). Но BR является диаметром, как следует из условия, поэтому  ∠BAR = 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	1