Задача 115735

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Хачатурян А.В.

Сторону AB треугольника ABC разделили на n равных частей (точки деления  B₀ = A,  B₁, B₂,  B_n = B),  а сторону AC этого треугольника разделили на
n + 1  равных частей (точки деления  C₀ = A,  C₁, C₂, ..., C_n+1 = C).  Закрасили треугольники C_iB_iC_i+1. Какая часть площади треугольника закрашена?

Решение

  Покажем, что закрашенная часть составляет ровно половину площади всего треугольника. Для этого из точек B₁, ..., B_n опустим перпендикуляры на сторону AC. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников C_iB_iC_i+1 с одинаковыми основаниями, причём, как следует из соображений подобия,  h_i = ih₁.  Отсюда вытекает, что таким же соотношением будут связаны площади окрашенных треугольников:  S_i = iS₁. (На рисунке изображен случай  n = 4.)

  Опустив затем перпендикуляры из точек C₁, ..., C_n на сторону AC, и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площадей незакрашенных треугольников. Осталось заметить, что площадь первого закрашенного треугольника равна площади первого незакрашенного (их основания равны, а высота h₁ общая).

Замечания

Равенство площадей соответствующих пар треугольников (закрашенного и незакрашенного) можно получить практически без вычислений, воспользовавшись тем, что прямые B_iC_i параллельны друг другу (по теореме, обратной теореме Фалеса). Поэтому  S_Bi–1BiCi = S_Ci–1BiCi  (у них общее основание B_iC_i, а вершины лежат на прямой, параллельной основанию) и  S_Ci–1BiCi = S_BiCiCi+1  (вершина B_i общая, а  C_i–1C_i = C_iC_i+1  по условию).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	6