ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115771
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три окружности проходят через точку P, а вторые точки их пересечения A, B, C лежат на одной прямой. A1, B1, C1 – вторые точки пересечения прямых AP, BP, CP с соответствующими окружностями. C2 – точка пересечения прямых AB1 и BA1.  A2, B2 определяются аналогично.
Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 равны.


Решение

Так как четырёхугольники PAB1C и PBAC1 вписанные,  ∠CAC2 = ∠CAB1 = ∠CPB1 = ∠BAC1  (см. рис.). Аналогично  ∠ABC2 = ∠ABC1,  то есть точки C1, C2 симметричны относительно прямой AB. Повторив это рассуждение для двух других пар точек, получим, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 симметричны относительно этой прямой и, следовательно, равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2007
тур
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .