Задача 115776

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Теорема синусов ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

На стороне AB треугольника ABC взяты такие точки X, Y, что  AX = BY.  Прямые CX и CY вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках U и V. Докажите, что все прямые UV проходят через одну точку.

Решение 1

  Пусть Z – точка пересечения AB и UV. Применяя теорему синусов к треугольникам ZAU и ZBV, получаем (см. рис.)

  Из треугольника ACX имеем:  sin∠ACX = ^AX/_AC sin∠AXC.
  Из этого и трёх аналогичных соотношений получаем, что  ZA : ZB = BC² : AC²,  то есть не зависит от выбора точек X, Y.

Решение 2

  Точка C', симметричная C относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB, лежит на описанной окружности треугольника ABC. Пусть касательная в этой точке пересекает AB в точке Z. Проведём через Z произвольную секущую к окружности, пересекающую её в точках U, V, и найдём точки X, Y пересечения прямых CU, CV с AB. Имеем:     Аналогично  

  Перемножая эти равенства, получаем  
  Из подобия треугольников ZAU и ZVB следует, что     а из подобия треугольников ZAV и ZUB –  AV : BU = ZV : ZB.  Кроме того,

ZU·ZV = ZC'².  Следовательно,     Из подобия треугольников ZAC' и ZC'B получаем, что правая часть этого соотношения равна 1. Значит,  AX = BY  и точка Z является общей точкой прямых из условия задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	13